Symmetry And Group

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By Philip J. Higgins

Through Philip J. Higgins. Notes on different types and groupoids (London, Van Nostrand Reinhold [1971)(ISBN 0442034067)

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2 Die euklidische Gruppe Eine sehr alte Gruppe, von der Lie nicht mit Unrecht sagte, daß sie schon bei Euklid ” vork¨ame, ist die Gruppe der Bewegungen. Wir wollen zun¨achst die Bewegungsgruppe in der Ebene betrachten. Sie nimmt eine besonders einfache analytische Gestalt an, wenn man die komplexen Zahlen als Darstellungsmittel benutzt. h. 2 Wenn man die positive y-Achse duch eine Vierteldrehung nach links aus der positiven x-Achse hervorgehen l¨aßt, so wird die Drehung α im Falle α > 0 nach links, im Falle α < 0 nach rechts erfolgen.

Im Kn −−→ aber k¨onnen wir auch schreiben P + P Q = Q, ohne Missverst¨andnisse bef¨ urchten zu m¨ ussen (wenngleich in einem abstrakten affinen Raum eine solche Addition zwischen Punkten und Vektoren eigentlich nicht als Summe erkl¨art ist, sondern als eine Art Endpunktabbildung). Vom praktischen Standpunkt sind affine Transformationen gerade diejenigen Abbildungen F des Rn bzw. Cn auf sich, die sich durch F (x) = Ax + b beschreiben lassen mit einer festen invertierbaren (n × n)-Matrix A und einem festen Spaltenvektor b.

42 Gruppen von geometrischen Transformationen Man kann sagen, dass die euklidische Geometrie alle diejenigen Eigenschaften beschreibt, die invariant unter der Wirkung der euklidischen Gruppe sind. B. orientierte Winkel, orientierte Fl¨acheninhalte usw. h. falls x, y = 0 gilt. Dies ergibt sich hier einfach aus der Bilinearit¨at des Skalarproduktes, vgl. Kap. 2. −−→ − − → Man stelle sich dazu ein Dreieck mit drei Eckpunkten P, Q, R vor mit P Q = x, QR = −→ y und folglich P R = x + y. Orendt, Geometriekalk¨ ule, Kap.

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