Symmetry And Group

By Armand Borel

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Additional info for Introduction aux groupes arithmétiques

Example text

En effet, d'après un principe élémentaire de théorie des groupes algébriques [1], cette orbite est un ouvert de Zariski de s~n adhérence, et son adhérence est formée. trictement plus petite que dim X, qui est ici égale à celle de SL(n, C) d'après le théorème de Jordan. Mais SL(n, C) laisse le discriminant invariant, donc un F' dans l'adhérence de X a aussi un discriminant non nul, et son orbite a, par conséquent, même dimension que X. cn. 4 s'applique alors à X et montre que les formes à coefficients entiers qui sont transformées de F par SL(n, R) forment un nombre fini d'orbites de SL(n, Z), résultat démontré par Jordan et Poincaré.

V. 8. COROLLAIRE. Le groupe r = GL(n, Z) est de type fini et les sous-groupes finis de GL(n, Z) forment un nombrefini de classes de conjugaison pour les automorphismes intérieurs de r. On a ,f) = 6'[r], où 6' est un domaine ouvert de Siegel convenable (cf. § 2). 5. Soit maintenant L un sous-grbupe fini de r; il a un point fixe F dans ,f). On peut écrire F = cry], où c c~t dans 5' et y dans r. Alors y. L. y-l C r 6" La conclusion résulte donc de ce que rIS' est fini. 9. Nous terminons ce paragraphe par une proposition de Harish-Chandra qui intervient dans la discussion de fonctions automorphes.

LEMME. Soit L un sous-ensemble de GL(n, Q) dont les éléments ont des coefficients à dénominateurs bornés supérieurement en valeur absolue. ,) ~ c pour tout x EL et tout i=I,2, ... ,n. Soit x E Gw n L. Tout revient à prouver que les produits 1t11 ••• tii 1 des coefficients diagonaux de t", ont des dénominateurs bornés supérieurement. Or s;;/. ,. t... , = s,;/. ,. Sw E N-. En particulier lorsque x E Gw n L, les dénominateurs des coefficients decœ • tœ' v.. restent bornés supérieurement. Les éléments det t...